Najúspešnejší slovenský strelec v histórii, v rokoch 1998 a 1999 vyhlásený za najlepšieho strelca sveta podľa ISSF, najúspešnejší športovec Slovenska 1999, vo vzduchovej puške v roku 1999 dvakrát dosiahol maximálny možný základný nástrel 600 bodov. Počas svojej kariéry nazbieral celkovo 82 medailí z vrcholných súťaží (vrátane pretekov Svetového pohára a súťaží družstiev) - 70 zo seniorských a 12 z juniorských pretekov. Dvojnásobný bronzový olympijský medailista (Atlanta 1996 – ľubovoľná malokalibrovka 60, Atény 2004 – vzduchová puška 60), v individuálnych súťažiach na majstrovstvách sveta držiteľ jednej zlatej (Barcelona 1998 – ľubovoľná malokalibrovka 3x40) a striebornej medaily (Barcelona 1998 – vzduchová puška 60), na majstrovstvách Európy držiteľ štyroch zlatých (Arnhem 1999 – vzduchová puška 60, Bordeaux 1999 – ĽMK 3x40, Göteborg 2003 – vzduchová puška 60, Deauville 2007 – ĽMK 3x40), dvoch strieborných (Kouvola 1997 – ĽMK 3x40, Belehrad 2005 – ĽMK 3x40) a dvoch bronzových medailí (Budapešť 1996 – vzduchová puška 60, Záhreb 2001 – ĽMK 3x40). V rokoch 1995 – 2006 vyhral 21 pretekov Svetového pohára, z toho 4 finálové (najlepšie ročníky: 1998 – 2+1, 1999: 3+2, 2000: 1+1, 2001: 4+0). V juniorskej kategórii bol dvojnásobným majstrom Európy a vicemajstrom sveta. Najlepšie výsledky na vrcholných súťažiach chronologicky: ME juniorov 1993 Brno – 1. v ľubovoľnej malokalibrovke (ĽMK) 3x40, 2. v ľubovoľnej malokalibrovke 60, 3. vo vzduchovej puške 60, MS juniorov 1994 Miláno – 3. v ĽMK 60, ME 1995 Zürich – 5. v ĽMK 3x40 (1262,4), OH 1996 Atlanta – 3. v ĽMK 60 (701,9), 5. v ĽMK 3x40 (1267,7), ME 1996 Budapešť – 3. vo vzduchovej puške 60 (695,9), ME 1997 Kouvola – 2. v ĽMK 3x40 (1268,9), MS 1998 Barcelona – 1. v ĽMK 3x40 (1271,6), 2. vo vzduchovej puške 60 (695,9), 7. v ĽMK 60 (697,9), ME 1999 Arnhem – 1. vo vzduchovej puške 60 (695,8), ME 1999 Bordeaux – 1. v ĽMK 3x40 (1275,8), ME 2000 Mníchov – 4. vo vzduchovej puške 60 (694,6), OH 2000 Sydney – 8. v ĽMK 3x40 (1261,3), ME 2001 Pontevedra – 6. vo vzduchovej puške 60 (695,1), ME 2001 Záhreb – 3. v ĽMK 3x40 (1265,4), 5. v ĽMK 60 (698,6), ME 2002 Solún – 6. vo vzduchovej puške 60 (698,3), MS 2002 Lahti – 6. vo vzduchovej puške 60 (698,2), ME 2003 Göteborg – 1. vo vzduchovej puške 60 (700,6), ME 2004 Györ – 4. vo vzduchovej puške 60 (698,4), OH 2004 Atény – 3. vo vzduchovej puške 60 (697,4), 4. v ĽMK 60 (700,5), 9. v ĽMK 3x40 (1162,0), ME 2005 Tallinn – 3. vo vzduchovej puške 60 (699,0), ME 2005 Belehrad – 2. v ĽMK 3x40 (1264,9), 5. v ĽMK 60 (598,9), ME 2006 Moskva – 4. vo vzduchovej puške (698,5), MS 2006 Záhreb – 4. vo vzduchovej puške 60 (697,8), ME 2007 Deauville – 6. vo vzduchovej puške 60 (698,3), ME 2007 Granada – 1. v ĽMK 3x40 (1267,9), ME 2008 Winterthur – 3. vo vzduchovej puške 60 (699,5).

Jozef Gönci patrí medzi najvýznamnejšie osobnosti v histórii slovenského športu. So streľbou začínal ako 11-ročný v rodných Košiciach. Už v juniorskej kategórii sa v troch disciplínach zaradil medzi svetovú špičku a medzi mužmi je už tucet rokov vo všetkých troch jedným z najúspešnejších svetových strelcov – a to napriek tomu, že má zrakový hendikep (astigmatizmus). Na OH 1996 v Atlante získal historickú prvú medailu pre samostatné Slovensko. V Sydney 2000 prežil najlepší svetový strelec rokov 1998 a 1999 veľké sklamanie. V dôsledku chrípkového ochorenia sa na strelnici trápil a jeho najlepším výsledkom bolo ôsme miesto v jeho obľúbenej disciplíne - ľubovoľnej malokalibrovke 3x40. V nej v roku 1998 vyhral všetky súťaže roka, vrátane majstrovstiev sveta. Potom sa však znovu vrátil do vrcholnej formy a na OH 2004 v Aténach získal svoju druhú olympijskú medailu – zase bronzovú. Zo slovenských strelcov vybojoval miestenku na OH v Pekingu ako prvý, už v roku 2005. Najviac úspechov dosiahol pod trénerským vedením Antona Beľáka, s ktorým sa však v roku 2000 po deväťročnej spolupráci rozišiel. Odvtedy vymenil viacero trénerov, ale buď nevedel nájsť toho správneho, alebo nebolo dosť peňazí na jeho zaplatenie. Pred OH 2004 bol jeho hlavným radcom športový psychológ a tenisový rozhodca Martin Babík, v súčasnosti sa pripravuje pod vedením Ivany Švecovej. Je členom Armádneho športového centra Dukla Banská Bystrica, ale žije v Bratislave, kde v roku 2004 absolvoval magisterské štúdium na Fakulte telesnej výchovy a športu Univerzity Komenského (predtým vyštudoval elektrotechnickú priemyslovku). V roku 2007 sa oženil, jeho manželkou sa stala volejbalová reprezentantka SR Daniela Rojková. Na Vianoce sa nasťahoval do nového domu, ktorý postavil v Jarovciach pri Bratislave. Sedem rokov pôsobil aj v najvyššej nemeckej ligovej súťaži, v klube Buer-Bülse získal tri tituly. Od roku 2007 je ex officio členom výkonného výboru SOV ako zástupca komisie športovcov SOV, ktorej od roku 2006 predsedá. Je aj členom rada ministra školstva SR pre šport. Doplnkovo sa venuje ľadovému hokeju, golfu a tenisu, z hudby má najradšej slovenskú, ale aj Bona Voxa. „Najväčším súperom pre seba som ja sám,“ povedal v rozhovore v roku 2000.